太监，旧称宦官，是指古代宫廷中替皇室服务并..掉外生殖器的男性。宦官制度由来已久，早在先秦时代，便产生了专为君主服务的宦官，如周朝及各诸侯国就设置有宦官，而在《诗经》、《周礼》、《礼记》中也均有宦官的相关记载。由此可见，宦官这一特殊群体是君主制度下的产物，也是君权思想深入人心的直接体现。
宦官更名为后世耳熟能详的太监，是隋唐之后的事。唐高宗执政时期，改殿中省为中御府，抽取宦官充任太监，少监，不过，此时的太监仅指代的是宦官中的高级官员。到了明代，由于宦官权势增至历史新高度，人们便把所有宦官都尊称“太监”，太监也就正式演化成宦官的代名词了。为便于统一，文中所有涉及宦官之处均统称为太监。
熟知历史的人知道：明朝可谓太监帝国，不仅产生了数目众多、权倾朝野的大太监，如王振、刘瑾、魏忠贤等，而且后期还赋予了太监极大的参政权力——内阁大学士票拟，司礼监太监“批红”，并且朝堂上活跃着一支特殊的政治势力——阉党。此时的太监，已与太监制度设置之初的本意相去甚远，如此也使得太监作为一支独立的政治力量真正登上了朝堂，对明朝政局的发展产生了极其深远的影响。
实际早在明朝立国之初，明太祖朱元璋慑于前朝太监干政之烈，就明文规定太监不得干政：“内臣（太监）不得干预政事，预者斩”，并悬铁牌于宫门前。不过到了永乐时期，情况有了明显变化，太监不仅经常被委以重任、出巡出洋，如下西洋的大航海家郑和，就是著名的三宝太监，而且他们还执掌特务机关——东厂，从事特务活动，诸事上报皇帝。
宣宗之时，改太监不得读书的祖制，令学官教授太监读书。成化年间增设西厂，依旧是太监执掌。到了英宗执政时，太监王振网罗党羽形成阉党，并亲自毁坏朱元璋严禁太监干政的铁牌，使太监公开走上政治舞台，开明朝太监专政之先河。之后的大太监刘瑾富可敌国、魏忠贤成为“九千岁”，便是这种太监专政下的必然产物。
中国古代一向重视祖宗家法，为何朱元璋针对太监制定的严苛规定，却在后期走向了它的反面，太监势力因此蓬勃崛起？是后代皇帝无视祖制吗？从前文梳理可知：太监变身特务，从事干政之开端，永乐帝是始作俑者。那是永乐帝公然违背了祖制吗？其实不然，主要关键还是因为朱元璋制定的制度有一漏洞，而恰巧永乐帝利用了这一漏洞从而纵容太监在干政的路上越走越远，而这一整体过程，可由线性方程组的相关理论做科学解释。
线性方程组唯一解的条件分析
众所周知，对于多元线性方程而言，若要获得各个未知数的唯一解，则要满足两个必要条件：
1，未知数的个数与方程个数相同；
2，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用通俗语言描述即为：方程之间互相不矛盾、不冲突。
假如未知数个数少于方程个数，则很可能出现方程之间有矛盾有冲突，如此将会导致方程组无解；假如未知数个数多于方程个数，且方程之间不矛盾不冲突，则会有无穷多个解。
以二元一次方程为例，通过图示可作直观理解：一个二元一次方程即为笛卡尔坐标系中的一条直线，由图中可知：此直线将对应无穷多个（x，y），这也即意味着将有无穷多个解；当再增加一个方程且与原有方程不冲突不矛盾时，也即在笛卡尔坐标系中再增加一条不与原直线相平行的直线，此时两条直线必将相交于一点，这便是此二元一次方程组的唯一解，可用消元法求得。否则，增加的一条直线与原直线平行无法形成交点，或者增加的直线数量过多且未能相交于一点，均会导致此方程组无解。
由线性方程组的相关理论分析刘邦“白马盟誓”在当时历史环境下的科学性
在用线性方程组分析明朝太监势力崛起之前，先用其来试着分析刘邦的“白马盟誓”，以探知科学合理的制度其建立的必要条件。
众所周知，刘邦在建立汉朝之后，考虑到当初情同手足之兄弟为他的大汉江山立下的赫赫功劳，便一连封了8个异姓王，但很快便发生了异姓王的叛乱，刘邦随后东征西讨，消灭了其中的7个。深感“兄弟不同心”的刘邦于是借鉴了西周初期“封建亲戚，以藩屏周”的经验，刑白马盟誓：“非刘氏而王者，天下共击之”，大封同姓王，建立了一个同姓王分封制的政治体制，历史上称为“白马盟誓”。
仔细看刘邦给出的封王条件，实际里面含有两个未知数：一为是不是刘氏之人？二为能不能封王？对照线性方程组结构可知：看似刘邦仅建立了一个方程，实则有两个。若将“是”用“+”代替，“非”用“-”代替，封王结果用“=”代替，则这两个方程大体上可写成：
-刘氏+封王=天下共击之
刘氏+封王=天下共认之
从方程组的形式上来看，其满足线性方程组唯一解的条件，用消元法可得其唯一解为：
刘氏=（天下共认之-天下共击之）/2
封王=（天下共击之+天下共认之）/2
考虑到数学中的负负得正法则，此唯一解意思便为：刘氏之人=天下共认之，如此稳固确立了刘氏之人本为天下之主的身份地位，而不问姓氏任意封王的结果便是天下人有可能认可，有可能不认可。由此可以看出：刘邦对“父传子、家天下”这一世袭制度理解得很是透彻，因为封建王朝中的帝王均将国家作为自己家族的私产，对于自己辛苦打下的家业，自当“肥水不流外人田”，必然不会容忍外人分一杯羹。将这两个未知数的解结合起来，便是刘邦期望的结果：大汉朝凡是涉及到封王，必须是刘氏之人，因为刘氏之人贵为天下之主无可非议，封刘氏之人为王自然不会引起争议，否则很可能会引起争议。
由于刘邦考虑透彻、理解深刻。因此，此项制度创立之后，深受历朝历代帝王的高度认可，也博得了全民心理上的认同，故此项制度传承的近2000年间，未有反对之声。虽然历史潮河中不可避免出现了几个异姓王，但正如《雍正王朝》中雍正皇帝对年羹尧所言：“自古异姓王都没有好下场”，很好地印证了刘邦建立的方程组的科学性、合理性。
由线性方程组的相关理论分析：朱元璋制定了严苛的太监制度，为何明朝还生太监之祸？
通过对刘邦“白马盟誓”在当时历史环境下的科学性分析可知：建立一种制度，若要获得科学性且稳定性好的唯一解，首要条件便是需对这一制度的本质要有足够深度的认知，其次则要建立对应未知数个数、且互不冲突矛盾的制度约束方程。那么，朱元璋立国之初建立的太监制度，是否满足以上要求？
对于太监而言，由于其设定的初衷便是伺候皇室，因此他们接触最多的便是权力阶层的皇室成员，尤其是拥有至高无上权力的皇帝。事实证明，太监跟皇帝确实容易走得很近，而且历史上大多登上权力巅峰的太监，主要还是得益于皇帝的宠信，如王振为明英宗宠信，刘瑾为明武宗宠信，魏忠贤则为明熹宗宠信。
由牛顿力学中的作用力与反作用定律可知：由于太监与皇帝之间是紧密联系的，故对太监的约束定位必然与皇帝的态度线性强相关，因此制定太监制度，不仅要对太监本人提出要求，更要对皇帝提出要求，也即从线性方程组角度而言，太监制度的制定过程中至少涉及到两个未知数，一个是对太监本人的约束，另一个则是皇帝对其的态度约束，如此构成了二元一次方程。
对照线性方程组唯一解的条件可知：朱元璋制定的制度“内臣（太监）不得干预政事，预者斩”相当于一个仅针对太监本人的方程，若用“=”表征朱元璋（皇帝）对太监的约束定位，则此方程可初步建立为：太监=不得干政
由前分析可知：用一个方程解两个未知数，则会有无穷多个解，比如，不论皇帝允不允许，都不得干政；皇帝不允许的前提下不得干政，皇帝执政前二十年不得干政等等。而且此方程缺少“皇帝态度”这个至关重要的未知数，割裂了皇帝与太监之间客观存在的紧密联系，因此此方程未能直击太监制度的本质，这预示着它必将走向失败。但由于朱元璋本人对太监并无好感，因此其执政时期，太监地位低下，并未有祸乱产生。
到了永乐时期，英明神武的朱棣瞅准了父皇立下这一制度的漏洞，便着手增加方程以封闭方程组实现唯一解。由于他对太监好感颇多，因此他很想打破祖制重用太监。不过他给的方程不是“太监可以干政”，因为如此便与朱元璋的方程直接相矛盾，导致方程组无解，而聪明的朱棣也定然不会这么做，因为这同时与祖制直接相违背，必然会被千夫所指。
不过这难不倒他，因为他很快意识到了“皇帝态度”这个未知数对太监定位约束的重要性，于是他在朱元璋建立的方程前面引入了“皇帝态度”这个未知数，这一制度便变成了：“皇帝不允许时，内臣（太监）不得干政”。虽然仅加了一个前提条件，但这个方程立马变成了两个不相冲突的方程且构成了有唯一解的线性方程组。若用“+”表示“允许”，“-”表示“不允许”，则此方程组大体可建立为：
皇帝态度-太监=不得干政
皇帝态度+太监=可以干政
由新建立的方程组可知：不仅此方程组自我封闭可得唯一解，同样用消元法可得此方程组的解：
太监=（可以干政-不得干政）/2
皇帝态度=（可以干政+不得干政）/2
同样由负负得正法则可知，朱棣给出的这个方程组其解寓意很明显：太监=可以干政，也即太监本就可以干政，这应为朱棣心中的真实想法。不过作为皇帝的他在态度上还是要做到有所保留，即可准许他们干政，也可反对他们干政。对比朱元璋对太监的定位，很显然朱棣只增加了一个前提条件，便让太监的定位180°大转弯。也正是因为明朝自朱棣开始实则允许太监干政，故而英宗时的王振公然毁坏朱元璋的铁牌便不会引起反对。
再将两个未知数的解结合在一起，便引申为这一结果：太监的言行举止、行为认可度全由皇帝一人说了算，太监能不能干政，是不是干政，均由皇帝评判，这即表明：太监只能唯一依附皇权。因为只要皇帝同意，太监不论是上天入地、出巡出洋，做特务还是在国家决策上“批红”，都不算是干政，反之，哪怕走错了一步路，都与干政相关，杀无赦。朱棣这样做也是想培养一支绝对效忠皇权的队伍，以抗衡内阁中的文官集团。在此目的下，后世皇帝争相效仿，不断放开了对太监约束，使得太监逐渐转型为明朝一支强大的政治力量。
如此看来，朱元璋虽然制定了严苛的太监制度，明朝还生太监之祸很重要的一个原因便是：朱元璋对太监的约束和定位认知不够深。因为朱元璋给出的太监定位约束方程不满足线性方程组的唯一解条件，且存在重大缺陷：没有考虑“皇帝态度”这一至关重要的因素，导致明朝后续太监地位的发展完全忤逆其本意，并最终走向了他制定初衷的反面。
而朱棣则根据自己需要调整了朱元璋建立的方程，不仅建立了封闭的太监定位约束方程组，而且还将方程组引向了自己期盼的唯一解：太监完全且唯一依附皇权。从这个角度而言，朱棣无疑是成功的，因为纵观整个明朝，虽然太监干政之烈历史之最，但却始终未能脱离唯一依附皇权这一轨道。他们一旦被皇帝抛弃，纵然是登顶“九千岁”的魏忠贤，其权势大厦的轰然坍塌也不过是一朝一夕之事。
