三角形的内角和是多少 ?180 °。这是教科书里给出的答案，也是几何学出现以来的这两千多年里，人们头脑中唯一正确的答案。但俄国一位年轻的数学家首先打开了人们封闭的思想，带来了几何学上划时代的发展。之后，有关这个问题的答案就有无数个了，也就是说，三角形内角和可以是一定范围内的任意度数 !180 ° 的情况只是一个很特殊的情况。
让我们一起走入怪异的几何世界，感受这场几何学世界里的风暴吧。
俄国数学家的大胆质疑
上过中学的人都学过几何学，也许现在还记得其中的一些公理或定理，比如 " 两点确定一条直线 "、" 过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行 ( 不相交 ) "，等等。这些是公元前 3 世纪一位叫欧几里得的古代数学家总结的几何学，是靠 5 个公理建立起来的。对于这些公理，也许我们从没有怀疑过。两千多年来，也没有人怀疑它们，只是对于 " 过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行 ( 不相交 ) " 的平行公理 ( 图 1 ) ，人们却不知如何去证明它，不知有多少研究者试图证明，但都没有成功。
1815 年，年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基 ( 1792-1856 ) 也想证明它，不过他并没有去重复前人的工作，而是从前人的失败中寻找启迪。他发现这个公理无论怎么证明都证不出来，于是就大胆地质疑：" 有没有可能这个公理不成立呢 ?"
他大胆而又创造性地假设平行公理不成立，" 过直线外一点，至少有两条直线与该直线不相交。" ( 图 2 ) 他用这样一个与平行公理对立的理论去代替平行公理，并保留欧式几何的其它 4 个公理不变，然后进行推理，竟然推出了一系列怪异的结论。
比如说，三角形内角和不再是 180 ° ; 存在边长无限长的三角形……这些理论虽然怪异，但相互间并不矛盾，也不违背逻辑。这些推理完全可以自成一套新的几何理论，很完整也很严密。罗巴切夫斯基把它叫做 " 新几何 "。
罗氏新几何的很多结论显然是违背传统几何的，因此，当时的数学家高斯把它称为 " 反欧几何 "，后又改为 " 非欧几何 "。非欧几何让人们认识到，除了传统欧式几何外，还可以有其它的几何，人们的思想变得活跃了，一个广阔的几何世界的大门被打开了。
曲面上的新几何
要想理解非欧几何，首先要弄清楚什么是直线。
在传统欧式几何中，并没有给出关于点或直线的准确定义，但通过很多理论的表述，可以理解为直线是两点间最短的线。由此可见，直线未必就不是弯曲的。比如说，光线的传播走的都是最短的直线距离，但光线传播的轨迹因时空的不均匀，往往是弯曲的。
除了高斯之外，最早能够理解非欧几何的是意大利数学家贝尔特拉米，他在 1868 年找到了一种像两个喇叭对扣的曲面 ( 图 3 ) ，在这种曲面的部分区域上，适用于非欧几何，从而使其他数学家对非欧几何也能理解。其实类似马鞍面的双曲面 ( 图 4 ) 就可以完全适用于非欧几何。
